数学者のクラウディア・フェボラ氏とアンナ＝ラウラ・ザッテルベルガー氏の研究により、代数幾何学が素粒子物理学と宇宙論を結びつける新たな道が開かれました。2025年8月に米国数学会会報に掲載された論文「宇宙の代数幾何学と正射影幾何学：素粒子から銀河まで」では、宇宙現象や素粒子相互作用を高次元の幾何学的形状として表現する「正射影幾何学」という新しい分野が紹介されています。
この幾何学的枠組みは、従来のファインマン図を補完し、素粒子相互作用を記述する新しい方法を提供します。この研究は、数学者と物理学者がこれらの関連性を探求する国際的な取り組みの一環であり、ERCシナジーグラント「UNIVERSE+」によって支援されています。正射影幾何学が宇宙のあらゆるスケールにおける理解を統一する可能性は、様々な科学メディアで注目されています。
この学際的な協力は、数学と物理学の関係が進化していることを示しています。その目的は、最小の素粒子から最大の銀河に至るまで、宇宙を支配する基本的な構造を明らかにすることです。この研究は、多様な物理現象を理解するための統一された幾何学的言語を示唆しています。
特に、2013年に物理学者のニマ・アルカニ＝ハメド氏とヤロスラフ・トルンカ氏によって導入されたアンプリチュードロイドのような概念は、複雑な素粒子相互作用を幾何学的物体の体積としてエンコードします。これは、従来の計算方法よりもシンプルでエレガントな方法で散乱振幅を計算する可能性を秘めています。さらに、宇宙論の分野では、宇宙マイクロ波背景放射の微かな痕跡や銀河の大規模な配置を研究するために、同様の幾何学的アプローチが用いられています。例えば、宇宙論的ポリトープと呼ばれる正射影幾何学の一種は、宇宙の初期の光における相関関係を記述し、宇宙を形作った物理的法則を再構築するのに役立ちます。
この研究は、数学と物理学の間の架け橋を築くものであり、代数幾何学、代数解析（D-モジュール理論など）、組み合わせ論といった手法を組み合わせています。これらのツールは、素粒子相互作用と宇宙現象の両方を記述する複雑な積分や微分方程式を体系的かつ厳密に研究する方法を提供し、非常に異なるスケール間での統一的な数学と物理学の架け橋となっています。正射影幾何学はまだ初期段階の分野ですが、著者らは、非常に小さいものと非常に大きいものの物理学との間の深い繋がりを明らかにする共通の数学的構造として、統一的な言語となる大きな可能性を秘めていると主張しています。このアプローチは、素粒子物理学を超えた広範な応用と拡張性を持っています。